Les séries de Fourier

En tant que radioamateurs, nous en avons entendu parler sans trop savoir de quoi il s'agissait. Et pourtant, depuis l'avènement de la microinformatique et l'arrivée en masse du traitement du signal dans nos transceivers, ces fameuses séries sont plus que jamais à l'ordre du jour. Nous les utilisons sans le savoir, dans nos DSP (filtrage) , dans nos PC (carte son et traitement du signal), sur nos écrans (images JPG), la liste n'est pas exhaustive. Cette page est avant tout une tentative de vulgarisation des séries de Fourier,  il existe tant en librairie que sur le net une abondante documentation que je vous invite à consulter pour entrer plus concrètement dans le sujet.

Le baron Fourier (jean Baptiste Joseph  1768 - 1830) nous a appris que l'on pouvait créer des formes d'ondes très complexes en ajoutant seulement entres elles des courbes sinus et cosinus. A titre d'exemple voici un signal complexe et sa décomposition.
Il s'agit d'un signal de fréquence fondamentale f auquel on ajoute un signal 2f et 3f de mêmes phase et amplitude.

 
On peut observer un signal électrique sous différents angles comme tente de le démontrer cette image. Si vous vous placez face à l'axe du temps, vous observerez l'amplitude des signaux en fonction du temps, c'est la vue que vous fournira un oscilloscope. Si vous vous placez face à l'axe des fréquences, vous observerez l'amplitude du signal en fonction de la fréquence, c'est la vue fournie par un analyseur de spectre.

Si vous reprenez la vue précédente d'un signal complexe, vous comprenez immédiatement que la vue en fonction du temps ne peut vous fournir aucune indication sur les composantes spectrales du signal. C'est à partir de maintenant que les séries de Fourier deviennent intéressantes.

Il n'est pas indispensable d'avoir les cheveux dressés sur la tête en lisant cette tête de chapitre, nous sommes dans le cadre d'un loisir, l'émission d'amateur, pas d'un examen. Essayons de reprendre quelques notions simples:

Les fonctions Sinus et Cosinus :

Prenez la calculatrice Windows (Démarrer - Programmes - Accesoires - Calculatrice).

Tapez  0 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : 0  Tapez 30 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : 0,5 Tapez 90 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : 1 Vous voyez c'est simple quand même. La valeur minimum pour cette fonction est 0 et la valeur max est 1. Il serait intéressant de voir ce qui se passe quand on dépasse 90°. Testons : Tapez 135 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : 0,707 Tapez 180 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : 0 Tapez 235 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : -0,81 Tapez 270 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique :  - 1 Tapez 330 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : -0,5 Tapez 355 puis cliquez sur le bouton SIN, l'afficheur indique : -0,087

Méthode graphique pour déterminer le sinus ou cosinus d'un angle.

Et maintenant traçons la courbe avec les points obtenus, le résultat est celui-ci :

La courbe blanche représente les sinus tandis que la courbe bleue représente les cosinus. La seule différence entre les deux, c'est le décalage de 90°.


Eh bien quand vous mettez une porteuse sur 7,0 MHz pour régler votre boîte de couplage, votre émetteur produit une suite de sinusoïdes, il y en a même 7 millions par seconde ! 




Donc un signal alternatif pourra s'écrire dans sa forme la plus simple comme suit :

b = a sin (wt) ou  b = a sin (2 p f t)

b est le signal périodique, a est un coefficient qui caractérise l'amplitude,  w représente la pulsation et vaut 2 p f, t représente le temps

Au passage, signalons que harmonique est un nom masculin, il faut donc écrire (et dire) un harmonique. Donc un harmonique est un multiple entier d'une fréquence f. Par exemple si f vaut 10 Hz, l'harmonique 2 de f vaut 20 Hz, l'harmonique 3 vaut 30 Hz, h4 (harmonique de rang 4) vaut 40 Hz, h5 vaut 50 Hz et hn vaut n f (n fois la fréquence f).

On peut écrire cela sous une forme quand même plus condensée comme indiqué sur la figure ci-contre. Pas de panique, cette formule indique simplement que le signal f est la somme du signal fondamental et des harmoniques jusqu'au rang N. On peut développer en écrivant que c'est équivalent à :
f(t) =    sin (1wt) +  sin (2wt) + sin (3wt) + sin (Nwt)

Si vous aimez Excel, vous pouvez vous amuser à entrer ces formule (n'oublier pas de faire varier t) 4 fois par exemple , et ensuite d'ajouter les résultats. Vous constaterez que le signal résultant est bien la somme de 4 sinusoïdes.

Dans l'exemple précédent il était admis implicitement que les harmoniques avaient la même amplitude que le signal fondamental ce qui est aller un peu vite en besogne. Nous constaterons fréquemment  (et heureusement) que l'amplitude des harmoniques décroît comme le rang augmente. Ceci dit, il faut introduire un facteur dans la formule qui permette de prendre cela en compte. Le coefficient "a" vient d'être introduit suivi de l'indice n car à chaque harmonique de rang "n" correspondra une amplitude "a". Si vous devions réécrire la formule comme au-dessus, cela donnerait : f(t) =   a₁ sin (1wt) + a₂ sin (2wt) +  a₃ sin (3wt) +a_n  sin (Nwt)

Cette image nous montre quelque chose de nouveau. Le signal ne démarre pas à "0" à l'instant "0". La somme de fonctions sinus ne permet pas cela car quand t=0, sin(0) vaut 0, on voit donc qu'il faut trouver autre chose. Ce sera chose faite en pouvant additionner des fonctions cosinus aux fonctions sinus. Bien naturellement, ceci va avoir un effet sur la formule et comme il peut exister aussi une composante continue, nous allons aussi rajouter un autre coefficient. Voici le résultat:

Le coefficient a_o  représente la composante continue quand elle existe. Pour le reste, rien de bien nouveau si ce n'est que l'on intègre la possibilité de travailler avec des fonctions cosinus. La formule est maintenant complète et universelle.

Nous retiendrons que les a₀, a_n et b_n sont appelés les coefficients des séries de Fourier.
an et bn représentent les composantes d'amplitude de rang n du spectre. Pour un rang "n" on calculera la valeur par la relation  : 
 

Nous venons de passer en revue les principes généraux, ce qui nous intéresserait maintenant, ce serait partant d'un signal complexe riche en harmoniques, de décomposer celui-ci et de déterminer l'amplitude et la phase de chacun de ses harmoniques, en un mot de réaliser un analyseur de spectre.
Pour ce faire, nous allons voir quelques propriétés extrêmement intéressantes des fonctions trigonométriques.

D'une manière schématique, intégrer une fonction cela revient à calculer une aire dans des limites données. Si nous observons cette sinusoïde et que l'on calcule son aire sur une période, on va s'apercevoir que celle-ci est nulle, la partie supérieure étant rigoureusement égale à la partie inférieure, cette dernière étant de signe opposé, la somme vaut 0.

Voici un signal périodique composé de deux signaux d'amplitudes égales et contenant la fondamentale "f" et l'harmonique 2 (2f). Nous allons maintenant multiplier ce signal par un autre signal sinusoïdal. Pour les besoins de la démonstration graphique, on se contentera de multiplier par un signal de fréquence f, 1,5 f et 2 f. Voyons le résultat ci dessous.

Nous en déduisons quelques propriétés intéressantes :

- L'aire sur une période d'une fonction sinus ou cosinus vaut 0 - 

- L'aire sur une période d'une fonction (ou onde si vous préférez)  qui est le produit de deux fonctions sinus  ou cosinus qui ne sont pas en relation harmonique vaut 0  - voir figure 2

- L'aire sur une période d'une fonction qui est le produit de deux sinus ou cosinus de même fréquence ou en relation harmonique n'est pas égal à 0 - figures 1 et 3


Donc d'une manière très schématique, pour déterminer les composantes spectrales d'un signal, il suffira de multiplier le signal d'origine par un autre signal, d'intégrer le résultat (calculer l'aire). Si cette dernière est nulle, le signal multiplicateur n'est pas un signal harmonique, on peut donc l'ignorer, si l'aire n'est pas nulle alors on passera au calcul des coefficients. On prendra ensuite l'harmonique suivant comme signal multiplicateur et on effectuera une nouvelle série de calculs.

Vous la connaissez aussi sous son appellation anglaise de DFT, elle va consister à déterminer les composantes spectrales d'un signal en appliquant la méthode esquissée ci-dessus. Ceci va nécessiter beaucoup (mais vraiment ) beaucoup de calcul. La transformée inverse permettra partant des composantes spectrales de recomposer le signal original.

Deux chercheurs d'IBM dans les années 60 ont inventé la Transformée de Fourier Rapide ou FFT en anglais (Fast Fourier Transform), cette méthode a considérablement réduit les temps de calcul, c'est elle que nous retrouvons dans notre petit monde.