Les racines - Traité d'électricité et d'électronique pour le radioamateur

Les racines

Les voici ces fameuses racines, vous allez constater une fois encore qu'il n'y a rien de difficile dans ces notions. Quand nous parlerons de racines, implicitement il s'agira de racines carrées.

Définition :

Accrochez vous bien :

On appelle racine carrée d'un nombre positif "x", un nombre "a" qui multiplié par lui même donne "x". Si cela reste nébuleux pour vous voici une autre formulation :

a . a = x

la racine carrée de x est a et on notera :

Quelques exemples :

Ici ce sont des racines entières facile à retenir, essayez avec votre calculatrice de faire des trucs plus complexes. Maintenant vous pouvez approximer "de tête" une racine. Supposons qu'on vous demande la racine de 144, en réfléchissant cinq secondes, vous voyez que 144 = 12 x 12. Donc la racine carrée de 144 vaut 12.

Une subtilité à retenir :

Ceci s'appelle le radical

et sous le radical on ne peut trouver que des nombres positifs. Essayez de trouver un nombre qui multiplié par lui-même soit négatif ... (ex -3 x -3 = 9).

Quelques petites choses à retenir par coeur :

Propriété fondamentale.

Exemple :

Cette propriété nous est utile pour décomposer et simplifier des racines carrées. Voyons cela avec un exemple simple. Nous avons la racine suivante :

Comment simplifier la chose de manière soit à obtenir sa valeur sans racine soit à obtenir une valeur avec racine mais bcp plus simple ? Là il faut un peu de métier... Nous remarquons que 144 peut se décomposer, entre autres, comme le produit de 36 par 4. (36x4=144). En appliquant la propriété qui est au dessus, nous pouvons écrire :

Maintenant, comme nous sommes futés, nous remarquons également que racine de 36 = 6 et que racine de 4 = 2. Bingo, il nous vient un simple produit (6x2=12). Voilà le résultat... Facile non ?

Attention :

Même logique qu'au dessus. Exemple :

Une petite dernière et c'est fini !

Cela paraît évident. Exemple :

Vous vous y attendiez, voici les opérations sur les racines :

Bien oui car c'est quand même l'objet que d'effectuer des opérations sur ces sacrées racines. Dans les calculs concernant la radio ou l'électricité, il y en a peu, c'est vrai mais il faut savoir les manipuler...

Addition et soustraction de racines :

Ce que je peux faire	Ce que je ne peux pas faire
Additionner ou soustraire des racines si celles-ci sont identiques.	Additionner ou soustraire des racines différentes.

Multiplication et division de racines :

Ce que je peux faire Ce que je ne peux pas faire

Avant de passer aux exercices :

Un petit truc qui vous sera très utile et qui est un retour aux puissances, ne vous laissez pas impressionner, nous allons simplifier.

Voici la chose dans toute son horreur. Maintenant si nous appliquons cela à un exemple numérique simple nous allons retomber sur des choses connues et sympathiques.

Voilà, c'est un peu touffu au départ mais cela se simplifie rapidement. On en déduit que tout exposant de la forme 1/2 est la racine carrée de quelque chose. Si en lieu et place de 1/2 nous avions noté 1/3, il se serait agi de la racine cubique.

Pour supprimer la racine au dénominateur :

Il arrive dans les calculs que l'on se retrouve avec une racine au dénominateur et qu'on souhaite pour

différentes raisons, la supprimer. Rien de plus facile, car vous vous souvenez qu'en multipliant la racine par elle même on fait sauter le radical. Pour mémoire :
Mais pour conserver la justesse du rapport il convient de multiplier par la même quantité également le numérateur. Exemple