Adaptation d'impédance par circuit LC- F6CRP

1 - Nécessité de l'adaptation d'impédance

Vous le savez, c'est écrit partout, pour transférer de la puissance d'un point A vers un point B, il convient que la résistance interne du générateur soit équivalente à la résistance interne du récepteur. On peut en faire très facilement l'expérience en continu avec l'exemple ci-dessous qui n'est pas une démonstration, juste une illustration :

	I= U/R I= 100/ 50+25 = 1,33 A. La puissance consommée par R : P = RI² P = 25 x 1,33² = 44 W
	I= U/R I= 100/ 50+50 = 1 A . La puissance consommée par R : P = RI² P = 50 x 1² = 50 W
	I= U/R I= 100/ 50+75 = 0,8 A . La puissance consommée par R : P = RI² P = 75 x 0,8² = 48 W

Ceci admis, il conviendra de pratiquer, pour le courant alternatif, ce qui s'appelle l'adaptation d'impédance de manière à transférer de manière optimum la puissance. Ceci s'appliquera partout, de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique, de la liaison entre deux étages à transistors à la liaison entre émetteur et ligne de transmission. La question qui vient à l'esprit est : "mais comment procéder ?" Les chapitres suivants vont essayer de répondre à cette question, préalablement, nous examinerons quelques aspects fondamentaux de la théorie et indispensables à la compréhension des phénomènes mis en jeu.

2 - La conversion série-parallèle

Sur cette image, vous pouvez noter la présence de deux circuits bien connus. L'un, le circuit "série" est composé d'une résistance pure notée "Rs" en série avec une réactance notée "Xs". Bien évidemment l'indice "s" indique que l'on est en présence d'une valeur en série.

L'autre circuit et un circuit parallèle, les indices sont des "p" pour les mêmes raisons qu'au dessus, la résistance Rp est en parallèle avec la réactance "Xp".

Les réactances peuvent être capacitives ou inductives, cela n'a pas d'importance pour la suite.

Avec les valeurs de composants qui conviennent (attendez, cela va venir), on va pouvoir réaliser deux circuits d'architectures différentes mais rigoureusement identiques sur le plan électrique. En d'autres termes, si on alimente ces circuits avec une même une source alternative, le même courant circulera dans le circuit série que dans le circuit parallèle, la phase sera identique, on ne pourra pas les différencier l'un de l'autre. Naturellement ceci sera vrai à une fréquence et une seule. Cela ne semble pas spectaculaire et pourtant, c'est la clef de l'adaptation d'impédance. Pour résumer, on pourra donc substituer un circuit série par un circuit parallèle et réciproquement, à la condition, bien entendu, d'utiliser les valeurs convenables, sans modifier les caractéristiques du circuit. Dernier point, si la réactance est inductive dans le circuit série, elle le sera également dans le circuit parallèle, idem pour une réactance capacitive.

3 - Quelques petites formules

Rassurez-vous, elles sont toutes simples, de plus pour les définitivement allergiques, j'ai créé une feuille de calcul Excel que vous pouvez télécharger en cliquant ici. Cette dernière vous permettra d'effectuer des simulations et les calculs. En écrivant cette page j'avais le choix de présenter les formules au fur et à mesure du déroulé du texte ou bien d'énumérer en un bloc ces relations dont nous allons avoir besoin. J'ai opté pour la seconde solution, pour être cohérent avec la feuille Excel. Je précise que nous n'aurons pas systématiquement besoin de toutes les formules, elles sont listées ici afin de vous aider à affronter tous les cas de figure.

EQ1	Q = Xs / Rs	Avec Rs, Rp, Xs, Xp en ohms. Q : facteur de Qualité, dimension sans unité
EQ2	Q = Rp / Xp
EQ3	Rp = Rs ( Q² + 1)
EQ4	Xp = Rp / Q
EQ5	Rs = Rp / (Q² + 1)
EQ6	Xs = Q Rs
EQ7

Quand les valeurs de résistances et réactances satisfont ces équations, les deux circuits (// et série) ont exactement la même impédance et phase à la fréquence considérée. Vous le noterez plus loin, les valeurs des résistances sont loin d'être identiques, c'est cette propriété qui va nous être utile pour l'adaptation. Je vous propose d'étudier un cas concret, parlant et espérons-le, didactique.

4 - Etude d'un cas concret

Les données de départ : imaginons que nous ayons une charge purement résistive de 50 ohms à relier à un générateur lui aussi purement résistif de 4000 ohms. D'après le principe de transfert d'énergie, notre circuit ne fonctionnera pas de façon optimum, il est impératif, sauf à supporter un transfert d'énergie déplorable, d'insérer un dispositif, permettant au générateur de "voir" une charge de 4000 ohms et à la charge de voir un générateur de 50 ohms d'impédance. Nous pourrions imaginer que ce cas rappelle l'étage de sortie d'un émetteur à tubes avec une sortie haute impédance que l'on doit relier à une antenne basse impédance, pour rester concret et dans des choses que nous connaissons.

Nous considérerons que la résistance de 50 ohms est Rs et celle de 4000 ohms est Rp. D'après la discussion précédente, nous savons que le circuit composé par la résistance Rs de 50 ohms en série avec une réactance Xs peut être identique à un circuit composé d'une résistance de 4000 ohms en parallèle à une inductance Xp de valeur convenable. Il ne nous reste plus qu'à calculer les éléments qui vont permettre de réaliser cela, à savoir Xs et Xp.

D'après l'équation [7] nous pouvons calculer Q. Vous noterez au passage que ne connaissant que Rs et Rp, nous n'avons pas vraiment d'autre choix. Dans notre cas de figure avec Rs = 50 ohms et Rp = 4000 ohms, le Q vaut 8,9. Pour simplifier la mise en page je ne pose pas les calculs, vous pouvez utiliser soit la feuille de calcul Excel soit une calculatrice, soit encore me croire sur parole.

Maintenant que nous connaissons le Q du circuit, nous allons pouvoir déterminer la valeur de la réactance à mettre en série avec la charge de 50 ohms. Pour mémoire je rappelle que nous cherchons les valeurs des réactances qui feront voir le circuit série avec Rs = 50 ohms identique au circuit parallèle avec Rp = 4000 ohms. Nous utiliserons l'équation [6]. Il viendra pour Xs : 445 ohms.

Donc une résistance de 50 ohms en série avec une réactance de 445 ohms sera identique à un circuit composé d'une résistance de 4000 ohms en parallèle avec une réactance Xp de "x" ohms. Nous allons déterminer la valeur de Xp en utilisant l'équation [4]. Il vient pour Xp : 449 ohms.

Faisons un schéma pour visualiser la situation :

A une fréquence considérée, ces deux circuits sont rigoureusement identiques et présentent conséquemment les mêmes caractéristiques électriques. J'ai fixé arbitrairement que X devait être inductive (pas tout à fait au hasard quand même)
Pour résumer, j'avais une résistance de 50 ohms, je lui ai rajouté en série une réactance de 445 ohms. Ce circuit est identique à une résistance de 4000 ohms en parallèle avec une réactance de 449 ohms. Jusque là, même si vous ne voyez pas où je veux en venir, vous devez suivre le cheminement. On peut aussi les mettre bout à bout...

Voilà la situation à cet instant... c'est très provisoire. La réactance en parallèle sur la résistance de 4000 ohms est représentée en pointillé car elle n'est pas physiquement présente. En revanche, du point de vue électrique, elle est bien là. Et justement, elle pose problème car initialement nous partions avec un générateur (le tube) de 4000 ohms d'impédance, il n'était pas question de réactance. Donc, il va falloir annuler cette réactance inductive... La solution est très simple, nous allons mettre en parallèle une réactance capacitive, c'est à dire un condensateur, sa réactance devra être de 449 ohms.. Voyons cela sur un schéma comme ci-dessous.

La réactance du condensateur va annuler la réactance de la self, notre générateur sera heureux. Nous venons de réaliser l'adaptation d'impédance en rajoutant entre générateur et charge deux composants, une self et un condensateur sous la forme d'un circuit en L, ce qui explique, entre autres, le titre de cette page !

Il nous reste à vérifier le résultat de nos élucubrations...

Vérifions, vérifions.. Nous allons utiliser l'abaque de Smith, il n'y a pas d'outil plus commode pour cela. J'ai fixé la fréquence à 10,120 MHz (attention, on n'y fait que de la graphie hein ?), nous allons simuler deux cas :

- la résistance de 4000 ohms est connectée et nous allons voir quelle est l'impédance à l'autre bout
- inversement, on enlève la résistance de 4000 ohms, on connecte de l'autre côté la résistance de 50 ohms et on regarde quelle est l'impédance aux points de connexion de la résistance de 4000 ohms.

Par une transformation simple, nous avons déterminé qu'une réactance capacitive à la fréquence de 10,120 MHz représente une capacité de 35 pF et réciproquement, une réactance inductive de 445 ohms représente une inductance de 6,998 µH. Grâce à la feuille de calcul Excel, vous pourrez effectuer ces transformations et autres caculs.

	Aux points de connexion laissés en l'air, on note que l'impédance à ce point avoisine 50 + j0. (aux décimales près et divers arrondis du calcul). L'adaptation est parfaite, on pourra connecter ici toute charge résistive de 50 ohms.

	Partant cette fois-ci de la résistance de 50 ohms, on note que l'on aboutit aux points de connexion restés en l'air à une impédance résistive de 4000 ohms, ce qui corrobore nos calculs (heureusement !)

On peut construire un circuit en L avec quatre typologies. Les caractéristiques de ces circuits seront bien entendu différentes et permettront ou ne permettront pas certaines adaptations. Je vous invite à consulter la page "Abaque de Smith" qui fournit de plus amples détails sur la question, notamment sur les zones "interdites" de l'abaque en fonction du type de circuit en L retenu.

Pour être exhaustif, je vous livre ici les formules de conversions série-parallèle usuelles.

5 - En conclusion

Le résultat est sous vos yeux, pour passer d'une résistance de 4000 ohms à une de 50, nous avons utilisé deux composants réactifs, une self et un condensateur. Nous avons réalisé une adaptation d'impédance garante d'un transfert optimum d'énergie. Ce circuit s'appelle fort logiquement un circuit en L. On peut rendre les éléments réactifs variables pour étendre l'adaptation soit à des fréquences différentes soit à des charges différentes. Il est possible aussi de coupler les circuits en L de manière à les transformer en circuit en Pi ou en T.
Le circuit en L constitue la brique indipensable à toute adaptation, on le retrouve partout, de la liaison inter-étage au coupleur d'antenne en passant par l'adaptation coaxial-élément rayonnant.

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